В противоположных (наиболее удаленных друг от друга) вершинах куба сидят паук и муха (рис. 38). Каким
кратчайшим путем паук может доползти до мухи?
Объясните ответ. НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 5-6 КЛАСС.ШАРЫГИН. С 20 НОМЕР 15

Задача на кратчайший путь между двумя противоположными вершинами куба — классическая задача из геометрии. Чтобы понять, как паук может доползти до мухи кратчайшим путем, представим себе куб как трехмерное тело и попробуем "развернуть" его на плоскости.

Шаги решения:

1. Представление куба: Пусть куб имеет 6 квадратных граней, и на этих гранях расположены вершины. Противоположные вершины куба, на которых сидят паук и муха, находятся в двух противоположных углах.

2. Модель с разверткой: Чтобы решить задачу, нужно "развернуть" куб, представив его как сетку плоских квадратов. Если мы развернем куб таким образом, что два противоположных угла (в которых находятся паук и муха) окажутся на разных углах одной из граней, то мы можем увидеть, что кратчайший путь — это прямолинейный отрезок между этими углами на плоскости.

3. Как это сделать: Один из способов — представить себе развертку куба как прямоугольный "путь". Например, если куб развернуть так, чтобы одна из его граней была основанием, то два противоположных угла окажутся на одной из сторон развернутой плоскости. Паук может двигаться вдоль этой плоскости, преодолевая два или три смежных квадрата.

4. Кратчайший путь: Самый короткий путь — это прямолинейный отрезок между этими двумя точками на развертке. Он будет идти по диагонали через несколько квадратных граней куба. Важно отметить, что этот путь не является прямым по ребрам куба, а идет через развернутую плоскость.

5. Длина пути: Если каждая грань куба имеет сторону длины 1, то путь, который мы ищем, будет равен диагонали прямоугольного треугольника, одна из сторон которого — это длина ребра куба, а другая — также длина ребра. По теореме Пифагора длина этого пути будет равна:

   $$\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

   Таким образом, кратчайший путь, который должен пройти паук, будет иметь длину $\sqrt{3}$.

Вывод:

Паук может доползти до мухи, следуя кратчайшим путем, который равен диагонали прямоугольного треугольника на развертке куба, и его длина составит $\sqrt{3}$.