СРОЧНО!!

Ромб со сторонами 5 см. и углом 60 градусов вращается вокруг своей меньшей диагонали. определите объем тела вращения.

Чтобы найти объём тела, которое образуется при вращении ромба со сторонами 5 см и углом 60 градусов вокруг его меньшей диагонали, сначала нужно определить ключевые параметры этой фигуры. Давайте разберём задачу пошагово.

Шаг 1. Найдём длины диагоналей ромба

Пусть $ABCD$ — ромб, в котором все стороны равны 5 см, а угол $\angle ABC = 60^\circ$.

1. Найти меньшую диагональ (d₁): Вспомним, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят каждый угол пополам. Разделив угол 60° пополам, получим два угла по 30°.

   Применим тригонометрию к треугольнику $\triangle ABD$ (где $AD = AB = 5$ см и $\angle BAD = 60^\circ$):

   $$d_1 = 2 \times AB \times \cos(30^\circ)$$

   Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

   $$d_1 = 2 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66 \text{ см}$$

2. Найти большую диагональ (d₂): Большая диагональ делит угол 120° (угол, смежный с 60°) пополам, образуя углы по 60°. Поэтому:

   $$d_2 = 2 \times AB \times \cos(60^\circ) = 2 \times 5 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ см}$$

Шаг 2. Определим радиус тела вращения

При вращении ромба вокруг его меньшей диагонали $d_1$, образуется тело вращения, представляющее собой два конуса, "склеенные" основаниями. Радиус основания такого конуса будет равен половине большей диагонали $d_2$:

Шаг 3. Найдём высоту конуса

Высота каждого из образующихся конусов будет равна половине меньшей диагонали $d_1$:

Шаг 4. Вычислим объём одного конуса

Формула объёма конуса:

Подставим наши значения:

Шаг 5. Найдём общий объём тела вращения

Так как тело вращения состоит из двух конусов, умножим объём одного конуса на 2:

Ответ:

Объём тела вращения равен примерно $56.8 \, \text{см}^3$.