В треугольной пирамиде ABCD боковое ребро DC перпендикулярно плоскости основания АВС. Рёбра DA и DB взаимно перпендикулярны, DC = CB, а DA образует с плоскостью основания угол в 30°. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная стороне АВ, пересекающая её в точке Н. Найдите величину угла между прямой DH и плоскостью основания пирамиды.

Ответ: 60°.

Решение.

Пусть $C$ — начало координат, а плоскость основания $ABC$ совпадает с плоскостью $OXY$.

Так как $DC\perp (ABC)$, можно ввести координаты:

По условию $DC=CB=a$, поэтому выберем:

1. Найдём координаты точки A.

Угол между ребром $DA$ и плоскостью основания равен $30^\circ$. Его проекцией является угол $DAC$.

В прямоугольном треугольнике $DAC$:

откуда

Поскольку $DA\perp DB$, воспользуемся скалярным произведением векторов:

Пусть $A(x;y;0)$. Тогда

Кроме того, из $DA=2a$:

Следовательно, можно принять:

2. Найдём координаты точки H.

Точка $H$ лежит на прямой $AB$, причём $DH\perp AB$.

Направляющий вектор прямой $AB$:

Запишем координаты точки $H$ в параметрическом виде:

Тогда

Из условия перпендикулярности:

Подставляя координаты, получаем:

После упрощения: