Найдите площадь треугольника, если его высоты равны 3 см, 4 см и 6 см.

Дано:

Высоты треугольника равны:

• $h_1=3$ см;

• $h_2=4$ см;

• $h_3=6$ см.

Найти: площадь треугольника $S$.

Решение:

Площадь треугольника можно выразить через любую его сторону и проведённую к ней высоту:

Отсюда следует, что стороны треугольника обратно пропорциональны соответствующим высотам.

Поскольку высоты равны 3, 4 и 6, стороны будут пропорциональны:

Приведём дроби к общему знаменателю:

Обозначим стороны через $4x$, $3x$ и $2x$. Полупериметр равен:

По формуле Герона площадь треугольника:

Подставим значения:

С другой стороны, используя сторону $4x$ и высоту 3 см, получаем:

Приравняем выражения:

Так как $x>0$, делим на $x$:

Следовательно, площадь:

Ответ: