1. Выберите верное утверждение:
А. Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.
В. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
С. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2. Площадь прямоугольного треугольника с катетами, равными 5 см и 4 см, равна:
А. 10 см² В. 20 см² С. 9 см² D. 18 см²

3. Площадь треугольника равна 24 см². Найдите высоту треугольника, проведённую к стороне длиной 8 см.

4. Площадь треугольника равна 64,5 см². Две из его сторон равны соответственно 8,6 и 15. Найдите градусную меру угла между этими сторонами.

5. Известно, что в треугольнике две стороны равны 12 и 13 см, а радиус описанной около этого треугольника окружности равен 5 см. Найдите третью сторону данного треугольника, если его площадь равна 78 см².

1. Выберите верное утверждение

А. Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади — верно.

Медиана делит противоположную сторону пополам. Получившиеся треугольники имеют равные основания и общую высоту, поэтому их площади равны.

В. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту — неверно.

В формуле площади присутствует коэффициент $\frac12$:

С. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия — верно.

Если коэффициент подобия равен $k$, то:

Ответ: А и С.

2. Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

Подставим $a=5$ см и $b=4$ см:

Ответ: А. $10\text{ см}^2$.

3. Нахождение высоты треугольника

Дано:

Используем формулу:

Выразим высоту:

Подставим значения:

Ответ: $6$ см.

4. Нахождение угла между сторонами

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними вычисляется по формуле:

Подставим данные:

Вычислим произведение:

Следовательно:

Синус равен единице при угле:

Ответ: $90^\circ$.

5. Нахождение третьей стороны

Для площади треугольника через три стороны и радиус описанной окружности используется формула:

Пусть третья сторона равна $c$. Подставим данные:

Отсюда:

По этой формуле получается:

Однако данные задачи противоречат друг другу. Для сторон $12$ см и $13$ см максимально возможная площадь равна:

Такая площадь достигается только тогда, когда угол между этими сторонами равен $90^\circ$. В этом случае третья сторона должна быть равна:

а радиус описанной окружности:

а не $5$ см.

Следовательно, треугольника, одновременно удовлетворяющего всем условиям задачи, не существует. Формальный расчёт по указанной формуле даёт $10$ см, но он несовместим с остальными данными.