В треугольнике АВС известно, что АС=5√2 см, ∠В=45°, ∠С=30°. Найдите сторону АВ треугольника. ​

Для решения этой задачи мы будем использовать свойства и формулы тригонометрии и геометрии. Нам дан треугольник $ABC$ с известными длиной стороны $AC = 5\sqrt{2}$ см и углами $\angle B = 45^\circ$ и $\angle C = 30^\circ$.

Сначала найдем $\angle A$. Известно, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Итак, $\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$.

Теперь мы применим теорему синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противоположного угла является постоянным для всех сторон треугольника. То есть, $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$, где $a$, $b$, и $c$ - стороны треугольника.

Нам нужно найти сторону $AB$. Пусть $AB = b$, $AC = c = 5\sqrt{2}$ см, и $\angle C = 30^\circ$. Тогда,

$\frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

Используем известные значения синусов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Подставляем эти значения в формулу:

$\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$

Упрощаем уравнение, чтобы найти $b$:

$b = \frac{5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 5 \times 2 = 10$

Таким образом, длина стороны $AB$ треугольника $ABC$ равна 10 см.