На катете BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C и углом 30° при вершине A вне треугольника построен равносторонний треугольник BCD. Прямая AD пересекает сторону BC в точке K.
a) Докажите, что CK : KB = 1 : 2.
б) Прямая, проходящая через точку K перпендикулярно AD, пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите отношение AM : MB.

Пусть \(BC=1\). Так как \(\angle A=30^\circ\), а \(\angle C=90^\circ\), то \(AC=\sqrt{3}\).

Расположим точки так: \(C(0;0)\), \(B(1;0)\), \(A(0;\sqrt{3})\). Так как \(BCD\) — равносторонний треугольник, построенный вне \(ABC\), то \(D\left(\frac12;-\frac{\sqrt3}{2}\right)\).

Прямая \(AD\) пересекает \(BC\) в точке \(K\left(\frac13;0\right)\). Значит, \(CK=\frac13\), \(KB=\frac23\), поэтому

\[CK:KB=1:2.\]

Прямая через \(K\), перпендикулярная \(AD\), пересекает \(AB\) в точке \(M\). Получается, что \(M\) делит \(AB\) так: \(AM=\frac{14}{15}AB\), \(MB=\frac{1}{15}AB\). Следовательно,

\[AM:MB=14:1.\]

0 0 Пожаловаться