Две различные окружности пересекаются в точках P и Q, причём их центры находятся по одну сторону от прямой PQ. Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, делит отрезок PQ пополам и перпендикулярна ему.

Обозначим центры окружностей через \(O_1\) и \(O_2\).

Точки \(P\) и \(Q\) лежат на первой окружности, поэтому \(O_1P = O_1Q\). Значит, точка \(O_1\) находится на серединном перпендикуляре к отрезку \(PQ\).

Так же \(O_2P = O_2Q\), потому что точки \(P\) и \(Q\) лежат на второй окружности. Следовательно, точка \(O_2\) тоже находится на серединном перпендикуляре к \(PQ\).

Через две различные точки \(O_1\) и \(O_2\) проходит единственная прямая. Так как обе эти точки лежат на серединном перпендикуляре к \(PQ\), прямая \(O_1O_2\) и есть этот серединный перпендикуляр. Поэтому она перпендикулярна \(PQ\) и делит отрезок \(PQ\) пополам.

0 0 Пожаловаться