Апофема правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 12 см. Найдите: а) боковое ребро и сторону основания пирамиды; б) боковую поверхность пирамиды; в) полную поверхность пирамиды.

Высота пирамиды \(12\) см, апофема \(15\) см. Радиус вписанной в основание окружности:

\[r=\sqrt{15^2-12^2}=9\text{ см}.\]

Для равностороннего треугольника \(r=\frac{a\sqrt{3}}{6}\), поэтому

\[a=18\sqrt{3}\text{ см}.\]

Радиус описанной окружности основания \(R=2r=18\) см. Боковое ребро:

\[l=\sqrt{12^2+18^2}=6\sqrt{13}\text{ см}.\]

Боковая поверхность:

\[S_{бок}=\frac{3a\cdot15}{2}=405\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Площадь основания:

\[S_{осн}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=243\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Полная поверхность:

\[S_{полн}=405\sqrt{3}+243\sqrt{3}=648\sqrt{3}\text{ см}^2.\]

Ответ: а) боковое ребро \(6\sqrt{13}\) см, сторона основания \(18\sqrt{3}\) см; б) \(405\sqrt{3}\text{ см}^2\); в) \(648\sqrt{3}\text{ см}^2\).

0 0 Пожаловаться