Трапеция A₁B₁C₁D₁ — изображение трапеции ABCD, в которой AB = BC = CD. Постройте изображение центра окружности, касающейся боковых сторон и большего основания трапеции ABCD.

Хорошо, попробую подробно объяснить решение, как если бы я был обычным пользователем на сайте вопросов и ответов.

В задаче дана трапеция ABCD, причём AB = BC = CD — это значит, что два боковых отрезка и одно из оснований равны между собой. Кроме того, сказано, что нужно построить центр окружности, которая касается боковых сторон и большего основания трапеции. Это окружность, вписанная в треугольник, образованный этими тремя сторонами.

Давайте разберёмся поэтапно.

Шаг 1: Понять форму трапеции

Если AB = BC = CD, то это накладывает довольно жёсткие геометрические ограничения:

• Пусть AB и CD — боковые стороны.

• Тогда BC — одно из оснований.

• По условию, одно из оснований длиннее другого, значит трапеция не равнобокая и BC — меньшее основание.

Следовательно, AD — второе основание, оно больше BC. А значит, окружность будет касаться сторон AB, CD и AD.

Шаг 2: Понять, какая фигура нас интересует

Нам нужно построить окружность, которая касается трёх сторон трапеции: боковых сторон AB, CD и большего основания AD.

Три касательные стороны — это признак вписанной окружности в треугольник.

Значит, мы рассматриваем треугольник, образованный сторонами AB, CD и AD, и в него можно вписать окружность.

То есть мы рассматриваем треугольник ABD (или ACD — зависит от обозначений), в который и будет вписана окружность.

Шаг 3: Построение центра вписанной окружности

Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис всех углов треугольника. Поскольку нас интересует окружность, касающаяся AB, CD и AD, мы строим треугольник ABD, где:

• AB и CD — боковые стороны трапеции.

• AD — большее основание трапеции.

Теперь пошаговое построение:

1. Построить биссектрису угла при вершине A.

2. Построить биссектрису угла при вершине D.

3. Точка пересечения этих двух биссектрис — центр окружности, касающейся сторон AB, AD, и CD.

Шаг 4: Как это выглядит на чертеже

На чертеже вы рисуете трапецию ABCD с равными отрезками AB = BC = CD.

• Основания: BC (короткое), AD (длинное).

• Постройте биссектрису угла при A (в треугольнике ABD).

• Постройте биссектрису угла при D.

• Точка пересечения — это центр вписанной окружности.

• Из этой точки можно опустить перпендикуляры на стороны AB, CD и AD — и они будут равны: это радиус вписанной окружности.

Вывод

Итак, чтобы построить центр окружности, касающейся боковых сторон и большего основания трапеции, нужно:

1. Выделить треугольник, образованный этими тремя сторонами (в данном случае AB, CD, AD).

2. Построить биссектрисы углов при вершинах, где эти стороны соединяются.

3. Точка пересечения — искомый центр окружности.

Надеюсь, объяснение было понятным!