Высота правильной четырехугольной пирамиды равна корень из шести см, а боковое ребро наклонено к

Ответы на вопрос

Отвечает Филатов Дмитрий.

Давайте решим эту задачу поэтапно.

Дано:

Высота правильной четырехугольной пирамиды $h = \sqrt{6} \, \text{см}$ ,
Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $60^\circ$ .

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание, и её вершина проецируется в центр основания. Боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники.

Часть (а): Найти боковое ребро пирамиды

Обозначим длину бокового ребра как $l$ . Пирамида образует прямоугольный треугольник, в котором:

$h = \sqrt{6} \, \text{см}$ (высота пирамиды),
$l$ (гипотенуза, то есть боковое ребро),
проекция бокового ребра на основание $r$ , которая является половиной диагонали основания квадрата.

Из условия наклонного угла:

\sin(60^\circ) = \frac{h}{l}.

Подставляем известные значения:

\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{l}.

Решим это уравнение относительно $l$ :

l = \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{3}} = \sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2} \, \text{см}.

Ответ: Боковое ребро $l = 2\sqrt{2} \, \text{см}$ .

Часть (б): Найти площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна сумме площадей её четырех боковых граней. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник.

1. Найдём длину стороны основания

Обозначим сторону основания за $a$ . Диагональ квадрата в основании равна $2r$ , где $r$ — проекция бокового ребра:

r = \sqrt{l^2 - h^2}.

Подставляем значения:

r = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8 - 6} = \sqrt{2}.

Диагональ основания:

d = 2r = 2\sqrt{2}.

Сторона квадрата:

a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2 \, \text{см}.

2. Найдём площадь одной боковой грани

Площадь треугольника равна:

S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{грани}},

где $h_{\text{грани}}$ — высота боковой грани. В равнобедренном треугольнике высота $h_{\text{грани}}$ выражается через боковое ребро и половину основания:

h_{\text{грани}} = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}.