Диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник. Найдите сторону основания пирамиды, если её объём равен 1.

Пусть сторона основания равна \(a\). Диагональ квадратного основания равна \(a\sqrt{2}\). Так как диагональное сечение — правильный треугольник, боковое ребро тоже равно \(a\sqrt{2}\).

Высота пирамиды:

\[h=\sqrt{(a\sqrt{2})^2-\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2}=a\sqrt{\frac{3}{2}}.\]

По формуле объёма:

\[1=\frac13a^2h=\frac13a^3\sqrt{\frac32}.\]

Отсюда \(a^3=\sqrt6\), поэтому

\[a=\sqrt[6]{6}.\]

Ответ: \(\sqrt[6]{6}\).

0 0 Пожаловаться