Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Пусть прямая касается окружности в точке \(A\), а \(O\) — центр окружности. Докажем, что \(OA\) перпендикулярен касательной.

Предположим обратное: \(OA\) не перпендикулярен касательной. Тогда из точки \(O\) можно опустить на касательную перпендикуляр \(OH\), причём \(H \ne A\).

Перпендикуляр — это кратчайшее расстояние от точки до прямой, поэтому \(OH < OA\). Но \(OA\) — радиус окружности. Значит, точка \(H\) находится внутри окружности, а прямая проходит через внутреннюю точку окружности и пересекает её в двух точках.

Это противоречит тому, что касательная имеет с окружностью только одну общую точку. Следовательно, \(OA \perp\) касательной.

0 0 Пожаловаться