В АЛФАВИТЕ 15 БУКВ ИЗ КОТОРЫХ 10 СОГЛАСНЫХ И 5 ГЛАСНЫХ, А ТАК ЖЕ 10 ОБЫЧНЫХ ЦИФР. Какими количеством способов можно образовать следующие комбинации:
1) Набор из трех букв;
2) Набор из не менее чем трех и не более чем семи букв;
3) Набор из двух букв и трех цифр;

Для решения задачи будем использовать правила комбинаторики, учитывая, что в алфавите 15 букв (10 согласных и 5 гласных) и 10 цифр (0–9). Обозначим нужные формулы для подсчета числа возможных комбинаций, чтобы ответить на каждый пункт.

1) Набор из трех букв

Так как у нас 15 букв и нас интересует набор из трех, то мы имеем дело с выбором комбинаций из 15 по 3.

Формула для комбинаций:

где $n = 15$ — общее количество букв, а $k = 3$ — количество букв в наборе.

Подставим значения:

Для упрощения подсчетов фактически получится:

Таким образом, количество способов выбрать набор из трех букв равно 455.

2) Набор из не менее чем трех и не более чем семи букв

В этом случае нужно посчитать количество способов для выбора 3, 4, 5, 6 и 7 букв из 15, а затем сложить результаты.

Считаем каждую комбинацию:

• Набор из 3 букв: $C(15, 3) = 455$ (уже рассчитано выше).
• Набор из 4 букв: $$C(15, 4) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1365$$
• Набор из 5 букв: $$C(15, 5) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$$
• Набор из 6 букв: $$C(15, 6) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5005$$
• Набор из 7 букв: $$C(15, 7) = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 6435$$

Теперь суммируем все комбинации:

Таким образом, общее количество способов выбрать набор от трех до семи букв равно 18263.

3) Набор из двух букв и трех цифр

Для этого случая нужно выбрать 2 буквы из 15 и 3 цифры из 10.

• Выбор 2 букв из 15: $$C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$$
• Выбор 3 цифр из 10: $$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

Теперь умножаем результаты, так как выбираем и буквы, и цифры:

Таким образом, количество способов выбрать набор из двух букв и трех цифр равно 12600.

Ответы:

1. Набор из трех букв: 455
2. Набор из не менее чем трех и не более чем семи букв: 18263
3. Набор из двух букв и трех цифр: 12600