Уравнение \( x^3 + x^2 + a x + b = 0 \) имеет корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = -2 \). Найдите \( a \), \( b \) и третий корень этого уравнения.

Для того чтобы найти коэффициенты $a$, $b$ и третий корень уравнения $x^3 + x^2 + a x + b = 0$, будем использовать следующие шаги:

1. Запишем уравнение в виде произведения линейных множителей:

   Уравнение $x^3 + x^2 + a x + b = 0$ имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ и третий корень $x_3$. Таким образом, его можно записать в виде:

   $$(x - 1)(x + 2)(x - x_3) = 0$$

   Раскроем это произведение.

2. Раскроем множители:

   Сначала раскроем $(x - 1)(x + 2)$:

   $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$$

   Теперь умножим это выражение на $(x - x_3)$:

   $$(x^2 + x - 2)(x - x_3) = x^3 - x_3 x^2 + x^2 - x_3 x - 2x + 2x_3$$

   Упрощаем:

   $$= x^3 + (1 - x_3) x^2 + (-x_3 - 2) x + 2x_3$$

3. Сравним с исходным уравнением:

   Исходное уравнение $x^3 + x^2 + a x + b = 0$ имеет такие же коэффициенты для $x^3$, $x^2$, $x$ и свободного члена. Сравнив, получаем систему:

   • Для коэффициента при $x^2$: $1 - x_3 = 1$, отсюда $x_3 = 0$.

   • Для коэффициента при $x$: $-x_3 - 2 = a$, подставим $x_3 = 0$, получаем $a = -2$.

   • Для свободного члена: $2x_3 = b$, подставим $x_3 = 0$, получаем $b = 0$.

4. Ответ:

   Таким образом, третий корень $x_3 = 0$, коэффициент $a = -2$, а коэффициент $b = 0$.