Дано уравнение \(2x^2 - 10x - 3 = 0\). Не вычисляя корней \(x_1\) и \(x_2\) этого уравнения, найдите значение выражения \(x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2\).

Для того чтобы найти значение выражения $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ для уравнения $2x^2 - 10x - 3 = 0$, давайте воспользуемся свойствами корней квадратного уравнения.

Пусть у нас есть уравнение:

Корни этого уравнения обозначаются как $x_1$ и $x_2$, и по формулам Виета они связаны с коэффициентами уравнения следующим образом:

В нашем случае уравнение имеет вид:

Здесь $a = 2$, $b = -10$, и $c = -3$. Подставим эти значения в формулы Виета:

1. $x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = 5$,

2. $x_1 x_2 = \frac{-3}{2}$.

Теперь, чтобы найти выражение $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$, его можно переписать в виде:

Заметим, что выражение $x_1^2 + x_2^2$ можно выразить через сумму и произведение корней с помощью формулы:

Подставим известные значения:

Теперь добавим $4x_1x_2$:

Таким образом, значение выражения $x_1^2 + 4x_1x_2 + x_2^2$ равно 22.