3^x + 3^(3 - x) - 12 = 0. Решить уравнение.

Дано уравнение: $3^x + 3^{3 - x} - 12 = 0$.

Для того чтобы решить это уравнение, давайте попробуем упростить выражения.

1. Перепишем уравнение:

   $$3^x + 3^{3 - x} = 12$$

2. Заметим, что $3^{3 - x} = \frac{3^3}{3^x} = \frac{27}{3^x}$. Таким образом, уравнение можно переписать как:

   $$3^x + \frac{27}{3^x} = 12$$

3. Обозначим $y = 3^x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$y + \frac{27}{y} = 12$$

4. Умножим обе стороны на $y$ (где $y \neq 0$):

   $$y^2 + 27 = 12y$$

5. Переносим все в одну сторону:

   $$y^2 - 12y + 27 = 0$$

6. Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

   $$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36$$

7. Найдем корни уравнения:

   $$y = \frac{-(-12) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 6}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{12 + 6}{2} = 9 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{12 - 6}{2} = 3$$

8. Теперь возвращаемся к переменной $y = 3^x$. Получаем два уравнения:

   $$3^x = 9 \quad \text{и} \quad 3^x = 3$$

9. Решаем каждое из них:

   • $3^x = 9$ означает, что $x = 2$, так как $3^2 = 9$.

   • $3^x = 3$ означает, что $x = 1$, так как $3^1 = 3$.

Ответ: $x = 1$ и $x = 2$.