Три икс в квадрате минус четыре икс плюс один равно нулю.

Решение уравнения $3x^{2}-4x+1=0$

1. Находим дискриминант.

   $$D=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot3\cdot1=16-12=4.$$

2. Извлекаем корень из дискриминанта.

   $$\sqrt{D}=2.$$

3. Подставляем в формулу корней квадратного уравнения.

   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}= \frac{4\pm2}{2\cdot3}= \frac{4\pm2}{6}.$$

4. Получаем корни.

   $$x_{1}=\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1,\qquad x_{2}=\frac{4-2}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.$$

5. Проверка (по желанию).

   • Для $x=1$: $3(1)^{2}-4(1)+1=3-4+1=0$.

   • Для $x=\tfrac13$: $3\left(\tfrac13\right)^{2}-4\left(\tfrac13\right)+1 =3\cdot\tfrac19-\tfrac43+1=\tfrac13-\tfrac43+1=0$.

6. Факторизация как дополнительный способ.

   $$3x^{2}-4x+1=(3x-1)(x-1)=0$$

   что даёт те же корни $x=\tfrac13$ и $x=1$.

Ответ: $x_{1}=1$, $x_{2}=\dfrac13.$