Докажите, что через две точки можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

Через две различные точки можно провести бесконечно много плоскостей, и среди них можно выбрать любые две различные.

Объяснение:

Представим две различные точки в пространстве — пусть это будут точки $A$ и $B$. Через них можно провести одну единственную прямую, поскольку по определению две различные точки однозначно определяют прямую.

Теперь подумаем: чтобы задать плоскость в пространстве, нужно либо:

• три точки, не лежащие на одной прямой,

• или прямая и точка, не лежащая на ней.

Однако есть ещё один способ: если у нас есть прямая (в данном случае — прямая $AB$), мы можем через неё провести бесконечно много плоскостей. Любая такая плоскость будет содержать эту прямую и дополнительно любую другую точку, не лежащую на ней. Поэтому, фиксируя прямую $AB$, и выбирая разные точки вне этой прямой, мы получаем разные плоскости, проходящие через $A$ и $B$.

Например:

• Можно взять любую точку $C_1$, не лежащую на прямой $AB$, и построить плоскость $\pi_1$, проходящую через $A$, $B$, и $C_1$.

• Затем можно взять другую точку $C_2$, также не лежащую на $AB$, и построить другую плоскость $\pi_2$, проходящую через $A$, $B$, и $C_2$.

Если $C_1$ и $C_2$ не лежат в одной плоскости с $AB$, то плоскости $\pi_1$ и $\pi_2$ будут различны. Таких точек $C$ вне прямой $AB$ бесконечно много, следовательно, и таких плоскостей тоже бесконечно много.

Итак, ответ:
Через две различные точки можно провести бесконечно много различных плоскостей. Среди них всегда можно выбрать любые две различные плоскости.