Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные и каждая цифра в числе используется только один раз?

Чтобы число было трёхзначным, нужно выбрать и расставить три цифры.

1. Выбор цифр.
Нечётные цифры, которые можно использовать: 1, 3, 5, 7, 9 — всего 5 штук.

2. Требование различия.
Каждая из трёх цифр должна встречаться только один раз, то есть цифры должны быть различными.

3. Перестановка (учёт порядка).
Порядок цифр важен, потому что 135 и 531 — разные числа.
Число способов расположить три различные цифры, выбранные из пяти, равно числу размещений
$A_{5}^{3}=5\cdot4\cdot3=60$.

Ответ: 60 трёхзначных чисел.