Сколько существует: а) двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13; б) двузначных чисел , сумма цифр которых равна 8; в) трёхзначных чисел, сумма цифр которых равна 14?

Давайте подробно разберем каждый из случаев.

а) Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 13?

Двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — десятки (первая цифра числа), а $b$ — единицы (вторая цифра числа). Здесь $a$ и $b$ — целые числа, причем $1 \leq a \leq 9$ (первая цифра не может быть нулем), а $0 \leq b \leq 9$.

Сумма цифр числа $a + b = 13$. Подберем возможные значения $a$ и $b$, удовлетворяющие этому условию:

1. $a = 4, b = 9$ — число 49.
2. $a = 5, b = 8$ — число 58.
3. $a = 6, b = 7$ — число 67.
4. $a = 7, b = 6$ — число 76.
5. $a = 8, b = 5$ — число 85.
6. $a = 9, b = 4$ — число 94.

Всего таких чисел: 6.

б) Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 8?

Здесь также используем представление $10a + b$, где $1 \leq a \leq 9$, $0 \leq b \leq 9$, а сумма цифр $a + b = 8$.

Подберем возможные значения $a$ и $b$:

1. $a = 1, b = 7$ — число 17.
2. $a = 2, b = 6$ — число 26.
3. $a = 3, b = 5$ — число 35.
4. $a = 4, b = 4$ — число 44.
5. $a = 5, b = 3$ — число 53.
6. $a = 6, b = 2$ — число 62.
7. $a = 7, b = 1$ — число 71.
8. $a = 8, b = 0$ — число 80.

Всего таких чисел: 8.

в) Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 14?

Трехзначное число представляем как $100a + 10b + c$, где $a, b, c$ — цифры числа. Условия:

• $1 \leq a \leq 9$ (первая цифра не может быть нулем),
• $0 \leq b, c \leq 9$,
• $a + b + c = 14$.

Задача сводится к поиску всех целочисленных решений уравнения $a + b + c = 14$, где $a \geq 1$, $b \geq 0$, $c \geq 0$.

Чтобы учитывать ограничение $a \geq 1$, вводим замену: $a' = a - 1$, где $a' \geq 0$. Тогда уравнение преобразуется в:

Теперь $a', b, c \geq 0$, и мы можем применить формулу для числа неотрицательных решений уравнения в натуральных числах. Для трех переменных число решений равно:

Таким образом, всего существует 105 трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 14.

Итоги:

• Двузначных чисел с суммой цифр 13: 6.
• Двузначных чисел с суммой цифр 8: 8.
• Трехзначных чисел с суммой цифр 14: 105.