Решите неравенство корень(3x+1)≤1

Решение пошагово

1. Область определения.
   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$3x + 1 \ge 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x \ge -\frac13.$$

2. Преобразуем неравенство.
   Имеем

   $$\sqrt{3x + 1} \le 1,\qquad 1 \ge 0.$$

   При неотрицательных правой части и выражении под корнем можно возвести обе части в квадрат (знак неравенства сохранится):

   $$3x + 1 \le 1.$$

3. Решаем полученное линейное неравенство.

   $$3x + 1 \le 1 \;\;\Longrightarrow\;\; 3x \le 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x \le 0.$$

4. Объединяем с областью определения.
   ОДЗ: $x \ge -\frac13$.
   Решение линейного неравенства: $x \le 0$.
   Совместив условия, получаем:

   $$-\frac13 \le x \le 0.$$

Ответ: $\displaystyle x \in \left[-\frac13,\;0\right]$.