Дан треугольник ABC с вершинами A(1;5) B(4;1) C(13;10). Найти точку пересечения биссектрисы внутреннего угла А со стороной BC.

Для того чтобы найти точку пересечения биссектрисы угла А с стороной BC в треугольнике ABC, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем уравнение прямой BC. Для этого используем координаты точек B(4;1) и C(13;10). Уравнение прямой можно найти по формуле для углового коэффициента:

   $$k = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{10 - 1}{13 - 4} = \frac{9}{9} = 1$$

   Теперь уравнение прямой BC имеет вид:

   $$y - y_B = k(x - x_B)$$

   Подставляем координаты точки B(4;1):

   $$y - 1 = 1(x - 4)$$

   Упростим:

   $$y = x - 3$$

   Таким образом, уравнение прямой BC: $y = x - 3$.

2. Найдем длины сторон треугольника. Для этого используем формулы расстояния между двумя точками:

   $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ $$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(13 - 1)^2 + (10 - 5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$ $$BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(13 - 4)^2 + (10 - 1)^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$$

3. Используем формулу для нахождения точки пересечения биссектрисы угла А со стороной BC. Для этого можно воспользоваться следующим принципом: точка пересечения биссектрисы делит сторону BC в пропорции, равной отношениям длин сторон AB и AC.

   Точка пересечения будет делить сторону BC в отношении $AB : AC = 5 : 13$. Обозначим точку пересечения как $P(x_P, y_P)$, где $x_P$ и $y_P$ - это координаты точки, которую нужно найти.

   Для этого используем параметрическое уравнение прямой BC, которая имеет вид:

   $$P(x_P, y_P) = \left( \frac{13x_B + 5x_C}{5 + 13}, \frac{13y_B + 5y_C}{5 + 13} \right)$$