Условие задания: 16
Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD = 3 см, а DC - 16 см. Отрезок
DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника АВС составляет 152 см?.
Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах.
Ответ:

Для решения задачи воспользуемся свойством площади треугольников, основанном на пропорциональности отрезков и высот.

Дано:

1. $AD = 3 \, \text{см}$, $DC = 16 \, \text{см}$, что значит $AC = AD + DC = 3 + 16 = 19 \, \text{см}$.
2. Площадь треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = 152 \, \text{см}^2$.
3. Отрезок $DB$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника.

Найти площадь меньшего из треугольников.

Шаги решения:

1. Пропорция отрезков и площадей: Площадь треугольников, на которые делится $\triangle ABC$ прямой $DB$, пропорциональна основаниям $AD$ и $DC$, поскольку они имеют общую высоту из вершины $B$, опущенную на основание $AC$.

   Обозначим площади треугольников:

   • $S_{ABD}$ — площадь треугольника $ABD$;
   • $S_{DBC}$ — площадь треугольника $DBC$.

   Тогда:

   $$\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{AD}{DC}.$$

   Подставим значения:

   $$\frac{S_{ABD}}{S_{DBC}} = \frac{3}{16}.$$

   Это означает, что площади соотносятся как $3 : 16$.

2. Общая площадь: Сумма площадей двух треугольников равна площади исходного треугольника:

   $$S_{ABD} + S_{DBC} = S_{ABC} = 152 \, \text{см}^2.$$

3. Выражение через пропорции: Пусть $S_{ABD} = 3x$ и $S_{DBC} = 16x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда:

   $$3x + 16x = 152.$$

   Решим уравнение:

   $$19x = 152,$$ $$x = 8.$$

4. Найдем площади:

   • $S_{ABD} = 3x = 3 \cdot 8 = 24 \, \text{см}^2$;
   • $S_{DBC} = 16x = 16 \cdot 8 = 128 \, \text{см}^2$.

5. Ответ: Меньший из треугольников — это $\triangle ABD$, его площадь равна:

   $$\boxed{24 \, \text{см}^2}.$$