(1-i)^4, где i - мнимая единица

Для вычисления выражения $(1 - i)^4$, где $i$ — мнимая единица, воспользуемся формулой для возведения комплексных чисел в степень.

1. Приведём выражение к удобному виду:

   Запишем число $1 - i$ в полярной форме. Для этого нам нужно найти его модуль и аргумент.

   Модуль числа $1 - i$ вычисляется как:

   $$|1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

   Аргумент числа $1 - i$ можно найти с помощью тангенса угла:

   $$\arg(1 - i) = \tan^{-1}\left(\frac{-1}{1}\right) = \tan^{-1}(-1)$$

   Угол, который соответствует $\tan^{-1}(-1)$, равен $-\frac{\pi}{4}$.

   Таким образом, $1 - i$ в полярной форме будет:

   $$1 - i = \sqrt{2} \left( \cos\left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin\left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)$$

2. Возведем в степень 4:

   Используем формулу для возведения комплексного числа в степень в полярной форме:

   $$(r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n \cdot (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$$

   Подставим $r = \sqrt{2}$, $\theta = -\frac{\pi}{4}$ и $n = 4$:

   $$(1 - i)^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos\left( 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) + i \sin\left( 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) \right) \right)$$ $$(\sqrt{2})^4 = 4$$

   Угол: $4 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\pi$. Подставляем это в выражение:

   $$(1 - i)^4 = 4 \left( \cos(-\pi) + i \sin(-\pi) \right)$$

3. Вычислим косинус и синус:

   $$\cos(-\pi) = -1, \quad \sin(-\pi) = 0$$

   Таким образом:

   $$(1 - i)^4 = 4 \left( -1 + 0i \right) = -4$$

Ответ: $(1 - i)^4 = -4$.