Найдите корень уравнения sin(x/4) = -√2/2. В ответе запишите наименьший положительный.

Для решения уравнения $\sin(x/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, сначала определим, при каких углах синус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Знаем, что синус принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ при углах, которые равны:

• $\frac{5\pi}{4}$ (или $225^\circ$),

• $\frac{7\pi}{4}$ (или $315^\circ$).

Это решения уравнения $\sin(\theta) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, где $\theta$ — это аргумент синуса.

В данном случае у нас аргумент синуса — это $x/4$, то есть:

Теперь решим эти уравнения для $x$:

1. $\frac{x}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$

2. $\frac{x}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi$

Нам нужно найти наименьший положительный корень. Рассмотрим оба выражения для $x$:

• Для первого уравнения $x = 5\pi + 8k\pi$, при $k = 0$, получаем $x = 5\pi$.

• Для второго уравнения $x = 7\pi + 8k\pi$, при $k = 0$, получаем $x = 7\pi$.

Наименьший положительный корень — это $x = 5\pi$.

Ответ: наименьший положительный корень уравнения $\sin(x/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это $x = 5\pi$.