Помогите решить уравнение с помощью введения переменной: x⁵ - 4x⁴ + 4x³ - x² + 4x - 4 = 0

Для решения уравнения $x^5 - 4x^4 + 4x^3 - x^2 + 4x - 4 = 0$ с помощью введения переменной, давайте попробуем найти, как можно упростить это уравнение.

Шаг 1: Введение переменной

Посмотрим на структуру уравнения. Видно, что оно имеет вид многочлена степени 5, но элементы в нем имеют определённую симметрию. Для упрощения введем новую переменную.

Предположим, что $y = x - 1$. Это удобный выбор, так как у нас есть члены, содержащие $x - 1$, например, в последнем элементе уравнения. Подставим это в исходное уравнение.

Шаг 2: Подстановка $x = y + 1$

Подставляем $x = y + 1$ в исходное уравнение:

Теперь вычислим все степени $x$ через $y$.

1. $x = y + 1$

2. $x^2 = (y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1$

3. $x^3 = (y + 1)^3 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1$

4. $x^4 = (y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

5. $x^5 = (y + 1)^5 = y^5 + 5y^4 + 10y^3 + 10y^2 + 5y + 1$

Шаг 3: Подстановка в уравнение

Теперь подставим все эти выражения в исходное уравнение:

Раскроем все скобки и упростим:

Теперь соберем все степени $y$: