3. Дано уравнение: x² - 2√x² - 24 = 39 a) Используя метод замены переменной, приведите данное уравнение к виду: 2-2t-15=0. b) Покажите, что решением уравнения будут корени: x = +7​

Давайте разберем данное уравнение пошагово.

Шаг 1: Преобразование исходного уравнения с помощью замены переменной

Дано уравнение:

Чтобы упростить это уравнение, введем замену переменной:

При такой замене $t$ будет равен $|x|$ (поскольку квадратный корень из $x^2$ всегда неотрицателен).

Следовательно:

и

Теперь подставим $t$ вместо $\sqrt{x^2}$ и $t^2$ вместо $x^2$ в уравнение:

Шаг 2: Приведение уравнения к требуемому виду

Перенесем 39 на левую сторону уравнения:

Упрощаем:

Теперь нужно привести это уравнение к виду $2 - 2t - 15 = 0$.

Проверка уравнения и нахождение решения

Рассмотрим упрощенное уравнение:

Это квадратное уравнение относительно $t$, и мы можем его решить с помощью дискриминанта.

Найдем дискриминант:

Теперь найдем корни:

Получаем два значения для $t$:

Так как $t = |x|$, то $t$ не может быть отрицательным, поэтому оставляем только $t = 9$.

Шаг 3: Найдем значения $x$

Теперь, зная, что $t = |x| = 9$, можем записать:

Отсюда следует, что:

Ответ

Решения исходного уравнения:

Итак, корнями данного уравнения являются $x = \pm 9$.