Помогите решить (Log4(2^x-1))/x-1<=1

Чтобы решить выражение $\frac{\log_4(2^x - 1)}{x - 1}$, нужно разобрать его поэтапно.

1. Применение логарифма с основанием 4:

   Напоминаем, что $\log_4 y$ можно переписать через логарифм с другим основанием, например, через натуральный логарифм:

   $$\log_4 y = \frac{\ln y}{\ln 4}$$

   Таким образом, выражение $\log_4(2^x - 1)$ можно переписать как:

   $$\log_4(2^x - 1) = \frac{\ln(2^x - 1)}{\ln 4}$$

   Логарифм 4 можно выразить как $\ln 4 = 2 \ln 2$. Подставим это в выражение:

   $$\log_4(2^x - 1) = \frac{\ln(2^x - 1)}{2 \ln 2}$$

2. Подстановка в исходное выражение:

   Теперь заменим $\log_4(2^x - 1)$ в исходном выражении:

   $$\frac{\log_4(2^x - 1)}{x - 1} = \frac{\frac{\ln(2^x - 1)}{2 \ln 2}}{x - 1}$$

   Упростим:

   $$\frac{\ln(2^x - 1)}{2 \ln 2 (x - 1)}$$

3. Рассмотрение предела при $x \to 1$:

   Это выражение имеет вид, который вызывает неопределенность $\frac{0}{0}$, если подставить $x = 1$. Чтобы решить такой предел, можно воспользоваться правилом Лопиталя.

   Для этого найдем производные числителя и знаменателя:

   • Производная числителя $\ln(2^x - 1)$ по $x$:

     $$\frac{d}{dx} \ln(2^x - 1) = \frac{1}{2^x - 1} \cdot \frac{d}{dx}(2^x - 1) = \frac{1}{2^x - 1} \cdot 2^x \ln 2$$

   • Производная знаменателя $2 \ln 2 (x - 1)$ по $x$ равна $2 \ln 2$.

   Применяем правило Лопиталя:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln(2^x - 1)}{2 \ln 2 (x - 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2^x \ln 2}{2^x - 1}}{2 \ln 2}$$

   Подставляем $x = 1$ в это выражение:

   • $2^x = 2$, а $2^x - 1 = 1$.

   Таким образом, предел будет равен:

   $$\frac{\ln 2}{2 \ln 2} = \frac{1}{2}$$

4. Ответ:

   Значение выражения $\frac{\log_4(2^x - 1)}{x - 1}$ при $x \to 1$ равно $\frac{1}{2}$.