Чему равны: log₂ по основанию 8; log(1/2) по основанию 8; log₄ по основанию 0,5; log₁₂₅ по основанию 0,2; ln √е

1. $\displaystyle \log_{8}2$
Представим основание и аргумент через степень двойки: $8 = 2^{3}$.
Ищем такое $x$, что $8^{x}=2\Rightarrow(2^{3})^{x}=2^{1}\Rightarrow2^{3x}=2^{1}$.
Отсюда $3x=1$, значит $x=\dfrac13$.

2. $\displaystyle \log_{8}\frac12$
Опять используем $8=2^{3}$ и пишем аргумент как степень двойки: $\tfrac12 = 2^{-1}$.
$8^{x}=\tfrac12\Rightarrow(2^{3})^{x}=2^{-1}\Rightarrow2^{3x}=2^{-1}$.
$3x=-1$, значит $x=-\dfrac13$.

3. $\displaystyle \log_{0{,}5}4$
Запишем основание и аргумент через степень двойки: $0{,}5=\tfrac12=2^{-1}$, $4=2^{2}$.
$(0{,}5)^{x}=4\Rightarrow(2^{-1})^{x}=2^{2}\Rightarrow2^{-x}=2^{2}$.
$-x = 2$, значит $x=-2$.

4. $\displaystyle \log_{0{,}2}125$
$0{,}2=\tfrac15=5^{-1}$, $125=5^{3}$.
$(0{,}2)^{x}=125\Rightarrow(5^{-1})^{x}=5^{3}\Rightarrow5^{-x}=5^{3}$.
$-x = 3$, значит $x=-3$.

5. $\displaystyle \ln\sqrt{e}$
$\sqrt{e}=e^{1/2}$.
$\ln(e^{1/2})=\tfrac12\ln e = \tfrac12\cdot1 = \tfrac12$.

Итоговые значения