Решите неравенство (х-4) (х + 7) меньше нуля

Чтобы решить неравенство $(x - 4)(x + 7) < 0$, нужно найти такие значения $x$, при которых произведение двух выражений будет отрицательным.

Шаг 1: Найдем корни уравнения

Решим уравнение $(x - 4)(x + 7) = 0$, чтобы найти точки, где произведение выражений равно нулю.

1. $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

2. $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$

Таким образом, корни уравнения — это $x = 4$ и $x = -7$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

1. $(-\infty, -7)$

2. $(-7, 4)$

3. $(4, +\infty)$

Шаг 2: Анализируем знаки произведения на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения $(x - 4)(x + 7)$ на каждом интервале.

1. Для интервала $(-\infty, -7)$, например, возьмем $x = -8$:

   $$(x - 4)(x + 7) = (-8 - 4)(-8 + 7) = (-12)(-1) = 12 > 0$$

   Значит, на интервале $(-\infty, -7)$ произведение положительное.

2. Для интервала $(-7, 4)$, например, возьмем $x = 0$:

   $$(x - 4)(x + 7) = (0 - 4)(0 + 7) = (-4)(7) = -28 < 0$$

   Значит, на интервале $(-7, 4)$ произведение отрицательное.

3. Для интервала $(4, +\infty)$, например, возьмем $x = 5$:

   $$(x - 4)(x + 7) = (5 - 4)(5 + 7) = (1)(12) = 12 > 0$$

   Значит, на интервале $(4, +\infty)$ произведение положительное.

Шаг 3: Вывод

Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля, то есть отрицательным. Это происходит на интервале $(-7, 4)$.

Ответ:

Неравенство $(x - 4)(x + 7) < 0$ выполняется при $x \in (-7, 4)$.