Решите методом интервалов неравенство: (x+4)(x-1) больше или равно нуля

Для решения неравенства $(x + 4)(x - 1) \geq 0$ методом интервалов нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем нули выражения.
   У нас произведение двух выражений $(x + 4)$ и $(x - 1)$. Чтобы найти нули, приравняем каждый множитель к нулю:

   $$x + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4$$ $$x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

   Таким образом, нули выражения — это $x = -4$ и $x = 1$.

2. Построим числовую прямую и разобьем на интервалы.
   У нас есть два критических значения: $x = -4$ и $x = 1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала:

   • $(-\infty, -4)$

   • $(-4, 1)$

   • $(1, \infty)$

3. Определим знак выражения на каждом интервале.
   Для этого подставим тестовые значения в выражение $(x + 4)(x - 1)$ на каждом из интервалов.

   • На интервале $(-\infty, -4)$, например, подставим $x = -5$:

     $$(x + 4)(x - 1) = (-5 + 4)(-5 - 1) = (-1)(-6) = 6 \quad (\text{положительный знак})$$

   • На интервале $(-4, 1)$, например, подставим $x = 0$:

     $$(x + 4)(x - 1) = (0 + 4)(0 - 1) = (4)(-1) = -4 \quad (\text{отрицательный знак})$$

   • На интервале $(1, \infty)$, например, подставим $x = 2$:

     $$(x + 4)(x - 1) = (2 + 4)(2 - 1) = (6)(1) = 6 \quad (\text{положительный знак})$$

4. Учтем знак неравенства.
   Нам нужно найти значения $x$, при которых произведение $(x + 4)(x - 1)$ больше либо равно нулю ($\geq 0$). Это означает, что нам нужны такие интервалы, где знак произведения положительный или равен нулю.

   • На интервале $(-\infty, -4)$ выражение положительное.

   • На интервале $(-4, 1)$ выражение отрицательное.

   • На интервале $(1, \infty)$ выражение положительное.

5. Учтем значения на границах интервалов:

   • При $x = -4$ выражение равно $0$, так как $(x + 4) = 0$. Поэтому $x = -4$ подходит.

   • При $x = 1$ выражение также равно $0$, так как $(x - 1) = 0$. Поэтому $x = 1$ тоже подходит.

6. Ответ:
   Произведение будет больше либо равно нулю на интервалах:

   $$(-\infty, -4] \cup [1, \infty)$$

   То есть, решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$.