Найдите наибольшее значение функции f(x)=x в степени 3 - 3х в степени 2 + 2 на промежутке [-1;1].

Для нахождения наибольшего значения функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ на отрезке $[-1; 1]$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем производную функции $f(x)$:

   Производная функции $f(x)$ по правилу дифференцирования:

   $$f'(x) = 3x^2 - 6x.$$

2. Найдем критические точки:

   Критические точки находятся при $f'(x) = 0$. Для этого решим уравнение:

   $$3x^2 - 6x = 0.$$

   Вынесем общий множитель:

   $$3x(x - 2) = 0.$$

   Это уравнение имеет два корня:

   $$x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2.$$

3. Проверим, какие из этих точек лежат в пределах интервала $[-1; 1]$:

   На интервале $[-1; 1]$ находится только точка $x = 0$, так как $x = 2$ выходит за пределы интервала.

4. Найдем значение функции в критической точке и на концах интервала:

   • $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2$,

   • $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$,

   • $f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

5. Сравним значения функции:

   Мы получили:

   • $f(-1) = -2$,

   • $f(0) = 2$,

   • $f(1) = 0$.

   Наибольшее значение функции на интервале $[-1; 1]$ равно $2$, и оно достигается в точке $x = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции на промежутке $[-1; 1]$ равно $2$.