Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 3x - x³ на промежутке [0; 3].

Ответы на вопрос

Отвечает Лисица Илья.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции $y = 3x - x^3$ на промежутке $[0; 3]$ , необходимо выполнить несколько шагов.

1. Находим производную функции:

Для того чтобы найти точки максимума и минимума, необходимо найти первую производную функции. Это можно сделать с помощью стандартных правил дифференцирования.

Функция:

y = 3x - x^3

Первая производная:

y' = \frac{d}{dx}(3x - x^3) = 3 - 3x^2

2. Находим критические точки:

Чтобы найти критические точки, приравняем первую производную к нулю:

3 - 3x^2 = 0

3x^2 = 3

x^2 = 1

x = 1 \quad \text{(так как рассматриваем только положительные значения на промежутке [0; 3])}

Таким образом, $x = 1$ — это критическая точка.

3. Проверяем граничные значения:

Кроме критической точки, на отрезке $[0; 3]$ функции нужно проверить также значения на границах отрезка: $x = 0$ и $x = 3$ .

4. Находим значения функции в критической точке и на границах:

Теперь вычислим значение функции $y = 3x - x^3$ в точках $x = 0$ , $x = 1$ и $x = 3$ .

При $x = 0$ :

y(0) = 3(0) - (0)^3 = 0

При $x = 1$ :

y(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2

При $x = 3$ :

y(3) = 3(3) - (3)^3 = 9 - 27 = -18

5. Находим наибольшее и наименьшее значение:

Теперь, когда мы нашли значения функции в критической точке и на границах, можем определить наибольшее и наименьшее значение.

Значение функции в $x = 0$ — $y(0) = 0$
Значение функции в $x = 1$ — $y(1) = 2$
Значение функции в $x = 3$ — $y(3) = -18$

Наибольшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ — это 2, которое достигается при $x = 1$ .

Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 3]$ — это -18, которое достигается при $x = 3$ .

Ответ:

Наибольшее значение функции на промежутке $[0; 3]$ равно 2, а наименьшее — -18.

Последние заданные вопросы в категории Математика