Найдите наибольшее значение функции $ y = (1 - x^2)(x - 1) $ на промежутке $[0; 2]$.

Ответы на вопрос

Отвечает Григорьева Саша.

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = (1 - x^2)(x - 1)$ на промежутке $[0; 2]$ , нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Преобразуем выражение функции

Раскроем скобки в выражении для функции:

y = (1 - x^2)(x - 1) = 1 \cdot (x - 1) - x^2 \cdot (x - 1)

Теперь раскроем каждое произведение:

y = (x - 1) - x^2(x - 1)

y = x - 1 - x^3 + x^2

Таким образом, функция примет вид:

y = -x^3 + x^2 + x - 1

Шаг 2: Найдем производную функции

Для нахождения экстремумов функции нужно найти её производную и приравнять её к нулю. Для функции $y = -x^3 + x^2 + x - 1$ производная будет:

y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + x^2 + x - 1) = -3x^2 + 2x + 1

Шаг 3: Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

-3x^2 + 2x + 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = 2^2 - 4(-3)(1) = 4 + 12 = 16

Таким образом, корни уравнения будут:

x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2(-3)} = \frac{-2 \pm 4}{-6}

Получаем два корня:

x_1 = \frac{-2 + 4}{-6} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}

x_2 = \frac{-2 - 4}{-6} = \frac{-6}{-6} = 1

Шаг 4: Проверка на допустимые значения

Мы ищем наибольшее значение функции на промежутке $[0; 2]$ . Точка $x_1 = -\frac{1}{3}$ лежит за пределами этого промежутка, поэтому её исключаем. Оставшийся критический пункт — это $x_2 = 1$ , который лежит внутри промежутка.

Шаг 5: Проверка значений функции на концах интервала

Теперь проверим значение функции в точках концах интервала и в критической точке $x = 1$ :

В точке $x = 0$ :

y(0) = -(0)^3 + (0)^2 + (0) - 1 = -1

В точке $x = 1$ :

y(1) = -(1)^3 + (1)^2 + (1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0

В точке $x = 2$ :

y(2) = -(2)^3 + (2)^2 + (2) - 1 = -8 + 4 + 2 - 1 = -3

Шаг 6: Вывод

Теперь сравним все полученные значения:

$y(0) = -1$
$y(1) = 0$

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Найдите наибольшее значение функции \( y = (1 - x^2)(x - 1) \) на промежутке \([0; 2]\).