4. Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие: а) 6 лыжников; б) 8 лыжников; в) 10 лыжников; д) k лыжников?

Для определения количества различных последовательностей старта лыжников необходимо учитывать, что каждый спортсмен получает свой уникальный номер старта, и порядок, в котором они стартуют, зависит от того, кто первым вытащит номер, вторым, третьим и так далее.

Так как для каждого спортсмена можно выбрать номер старта из оставшихся номеров, то задача сводится к нахождению количества различных перестановок этих спортсменов.

1. В случае с 6 лыжниками (а), для определения всех возможных последовательностей старта мы должны найти количество перестановок из 6 элементов. Это вычисляется как факториал числа 6:

2. В случае с 8 лыжниками (б), аналогично, нужно найти факториал числа 8:

3. Для 10 лыжников (в), вычисляем факториал числа 10:

4. Для k лыжников (д), количество различных последовательностей старта будет равно факториалу числа k:

Таким образом, для каждого количества лыжников количество возможных последовательностей старта — это факториал этого числа.