В соревнованиях лыжников на круговой трассе приняли участие Слоненок, Медвежонок и Зайчонок. Они стартовали одновременно. Слононенок каждый круг проезжал на две минуты быстрее Медвежонка, а Медвежонок - на три минуты быстрее Зайчонка. Когда Слоненок закончил дистанцию, Медвежонку осталось проехать один круг, а Зайчонку - два круга. Сколько кругов составляла дистанция?

Решим задачу пошагово.

1. Определим время, за которое каждый участник преодолевает один круг:

• Пусть Зайчонок проезжает один круг за $t$ минут.
• Тогда Медвежонок проезжает один круг на 3 минуты быстрее, то есть за $t - 3$ минут.
• Слоненок проезжает круг на 2 минуты быстрее Медвежонка, то есть за $t - 3 - 2 = t - 5$ минут.

2. Введем обозначение для числа кругов в дистанции:

Обозначим количество кругов, составляющих дистанцию, как $n$.

3. Найдем время, за которое каждый участник завершает свою часть дистанции:

• Слоненок завершает всю дистанцию за время $n \cdot (t - 5)$, так как он проехал $n$ кругов.
• Медвежонок к моменту финиша Слоненка успел проехать $n - 1$ круг, поэтому затраченное им время равно $(n - 1) \cdot (t - 3)$.
• Зайчонок к тому же моменту проехал $n - 2$ круга, и его затраченное время равно $(n - 2) \cdot t$.

4. Составим уравнение для времени:

Поскольку все участники стартовали одновременно, их затраченное время одинаково. Значит:

Упростим каждое равенство:

(1) Равенство времени Слоненка и Медвежонка:

Раскроем скобки:

Сократим $n \cdot t$ и соберем подобные члены:

(2) Равенство времени Слоненка и Зайчонка:

Раскроем скобки:

Сократим $n \cdot t$ и соберем подобные члены:

5. Составим систему уравнений:

Теперь у нас есть два выражения для $t$:

Приравняем их:

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

6. Проверим решение:

• Если $n = 6$, то $t = 2n + 3 = 2 \cdot 6 + 3 = 15$.
• Время на круг: Зайчонок — $t = 15$, Медвежонок — $t - 3 = 12$, Слоненок — $t - 5 = 10$.
• Слоненок финишировал за $6 \cdot 10 = 60$ минут.
• За это время Медвежонок проехал $\frac{60}{12} = 5$ кругов, то есть на 1 круг меньше Слоненка.
• За это же время Зайчонок проехал $\frac{60}{15} = 4$ круга, то есть на 2 круга меньше Слоненка.

Условия задачи выполнены.

Ответ:

Дистанция составляла 6 кругов.