Косинус 75 градусов минус синус 75 градусов и все в квадрате

Задача требует вычислить выражение $(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2$.

Рассмотрим шаги для его решения:

1. Используем формулу квадрата разности:

   $$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

   где $a = \cos 75^\circ$ и $b = \sin 75^\circ$. Подставим эти значения:

   $$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = \cos^2 75^\circ - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ + \sin^2 75^\circ$$

2. Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Для $x = 75^\circ$ это даёт:

   $$\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ = 1$$

3. Подставляем это в наше выражение:

   $$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = 1 - 2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ$$

4. Для упрощения, используем тригонометрическое тождество для удвоенного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Таким образом, для $x = 75^\circ$, получаем:

   $$2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ = \sin 150^\circ$$

5. Известно, что $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$. Тогда:

   $$2 \cos 75^\circ \sin 75^\circ = \frac{1}{2}$$

6. Подставляем это в наше выражение:

   $$(\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$.