Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что AE = CF.

Задано параллелограмм ABCD, в котором через точку O, являющуюся точкой пересечения диагоналей, проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Необходимо доказать, что AE = CF.

1. Рассмотрим свойства параллелограмма:
   Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O и делят друг друга пополам. То есть, точки O делят диагонали AC и BD на два равных отрезка. Следовательно, $AO = OC$ и $BO = OD$.

2. Обозначим векторные величины:
   Пусть $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ и $\vec{D}$ — это векторные координаты точек A, B, C и D соответственно. Векторные координаты точек E и F будем обозначать как $\vec{E}$ и $\vec{F}$.

3. Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку O:
   Пусть прямая, проходящая через точку O, имеет уравнение в параметрической форме:

   $$\vec{P}(t) = (1 - t) \vec{O} + t \vec{Q}$$

   где $Q$ — точка на прямой, а $t$ — параметр. Эта прямая пересекает стороны AB и CD в точках E и F. Прямая через O будет делить сторону AB на два отрезка с пропорциями, аналогичными тем, что она делит сторону CD.

4. Использование свойства параллелограмма:
   В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, прямые, проведенные через O и пересекающие стороны AB и CD, разделяют эти стороны пропорционально.

5. Применение теоремы о пропорциональных отрезках:
   Теорема о пропорциональных отрезках утверждает, что если через точку пересечения диагоналей параллелограмма проводится прямая, которая пересекает его стороны, то отрезки, на которые эта прямая делит эти стороны, пропорциональны. В данном случае, отрезки AE и CF пропорциональны.

6. Заключение:
   Поскольку прямые, проведенные через точку O, делят стороны AB и CD параллелограмма на равные части (по принципу пропорциональности), то отрезки AE и CF будут равны, то есть $AE = CF$.