На сторонах AB,‍ BC,‍ CD‍ и AD‍ параллелограмма ABCD‍ отмечены точки K,‍ L,‍ M‍ и N‍ соответственно, причём ‍
‍ AK:‍ KB = ‍‍BL:LC‍ = ‍CM:MD‍‍ = ‍DN:NA‍‍.‍
а) Докажите, что четырёхугольник KLMN —‍ параллелограмм, а его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.‍
б) Найдите отношение площадей параллелограммов KLMN‍ и ABCD,‍ если известно, что AK:KB=2:5

а) Для начала заметим, что на каждой из сторон параллелограмма ABCD отмечены точки, делящие отрезки в одном и том же отношении. Пусть отношение деления на каждой стороне равно $\frac{m}{n}$, где $m:n = 2:5$, то есть:

• $AK:KB = 2:5$,
• $BL:LC = 2:5$,
• $CM:MD = 2:5$,
• $DN:NA = 2:5$.

Рассмотрим, например, стороны $AB$ и $BC$. Поскольку на $AB$ точка $K$ делит отрезок в отношении $2:5$, а на $BC$ точка $L$ делит отрезок в том же отношении $2:5$, то линии, соединяющие эти точки, будут параллельны друг другу.

По аналогии, линии $KL$, $LM$, $MN$ и $NK$ будут параллельны противоположным сторонам параллелограмма ABCD, поскольку на каждой стороне параллелограмма отмечены точки, делящие её в одинаковом отношении.

Таким образом, четырёхугольник $KLMN$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны параллельны.

Теперь нужно доказать, что центр параллелограмма $KLMN$ совпадает с центром параллелограмма ABCD. Центр параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей. В параллелограмме ABCD диагонали $AC$ и $BD$ делятся пополам. Поскольку точки $K, L, M, N$ делят стороны параллелограмма в одном и том же отношении, центр параллелограмма $KLMN$ будет располагаться в середине отрезка, соединяющего центры противоположных сторон параллелограмма ABCD. Таким образом, центр параллелограмма $KLMN$ совпадает с центром параллелограмма ABCD.

б) Теперь рассмотрим отношение площадей параллелограммов $KLMN$ и $ABCD$. Мы знаем, что точки $K, L, M, N$ делят стороны параллелограмма ABCD в отношении $2:5$, что означает, что длина каждого отрезка, на который делится сторона, составляет $\frac{2}{7}$ от общей длины стороны (поскольку $2 + 5 = 7$).

Площадь параллелограмма пропорциональна произведению длин его смежных сторон и синусу угла между ними. Так как стороны $KLMN$ пропорциональны сторонам $ABCD$, и коэффициент пропорциональности для каждой стороны равен $\frac{2}{7}$, то площадь параллелограмма $KLMN$ будет пропорциональна квадрату этого коэффициента, то есть:

Таким образом, отношение площадей параллелограммов $KLMN$ и $ABCD$ равно $\frac{4}{49}$.