Через точку M, не лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая b – в точках В1

и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1= 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5. и рисунок

Для решения задачи требуется применить свойства параллельных плоскостей и подобие треугольников.

Условие задачи

Даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. Через точку $M$, которая не лежит между этими плоскостями, проведены прямые $a$ и $b$. Прямая $a$ пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $A_1$ и $A_2$, а прямая $b$ пересекает их в точках $B_1$ и $B_2$. Длины и отношения даны:

• $A_1B_1 = 15 \, \text{см}$,
• $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{5}$.

Требуется найти длину отрезка $A_2B_2$.

Решение

1. Анализ геометрической ситуации:

   • Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, и $B_2$ лежат на прямых, пересекающих параллельные плоскости. Следовательно, отрезки $A_1A_2$ и $B_1B_2$ параллельны, так как прямые $a$ и $b$ пересекают одни и те же параллельные плоскости.
   • Треугольники $O A_1B_1$ и $O A_2B_2$ подобны, так как их стороны, лежащие в плоскостях $\alpha$ и $\beta$, параллельны.

2. Пропорциональность в треугольниках: Поскольку $\frac{OB_1}{OB_2} = \frac{3}{5}$, отношение масштабов треугольников $\triangle O A_1B_1$ и $\triangle O A_2B_2$ равно $\frac{3}{5}$. Это значит, что все стороны треугольника $\triangle O A_1B_1$ уменьшатся (или увеличатся) в этом отношении при переходе к треугольнику $\triangle O A_2B_2$.

3. Нахождение $A_2B_2$: Отрезок $A_2B_2$ будет пропорционален $A_1B_1$:

   $$A_2B_2 = A_1B_1 \cdot \frac{5}{3}.$$

   Подставляем $A_1B_1 = 15 \, \text{см}$:

   $$A_2B_2 = 15 \cdot \frac{5}{3} = 25 \, \text{см}.$$

Ответ:

Длина отрезка $A_2B_2 = 25 \, \text{см}$.