Два тела движутся навстречу друг другу из двух мест, находящихся на расстоянии 153 м. Первое тело проходит по 10 м в секунду, второе же в первую секунду прошло 3 м, а в каждую следующую секунду на 5 м больше, чем в предыдущую. Через сколько секунд тела встретятся?

Для решения задачи нужно найти, через сколько секунд два тела встретятся. Начнём с того, что расстояние между телами равно 153 метра.

1. Скорость первого тела:
Первое тело движется с постоянной скоростью 10 м/с, то есть оно за каждую секунду проходит 10 метров.

2. Скорость второго тела:
Скорость второго тела изменяется с каждым моментом времени. В первую секунду оно проходит 3 метра, во вторую — на 5 метров больше, т.е. 8 метров, в третью — 13 метров и так далее. То есть в $n$-ую секунду оно проходит $3 + 5(n-1)$ метров.

Суммарное расстояние, которое пройдет второе тело за $n$ секунд, можно выразить как сумму арифметической прогрессии, где первый член равен 3, а разность прогрессии равна 5. Сумма первых $n$ членов такой прогрессии будет:

3. Общее расстояние:
Тела движутся навстречу друг другу, значит, за каждую секунду они сокращают расстояние между собой на сумму пройденных ими расстояний. Суммарное расстояние, которое проходят оба тела за $n$ секунд, можно выразить как:

Необходимо найти $n$, при котором это расстояние будет равно 153 метра:

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ равен:

Корни уравнения находятся по формуле:

Получаем два значения:

Таким образом, тела встретятся через 6 секунд.