Решить уравнение √(5x - 4) = x

Для решения уравнения $\sqrt{5x - 4} = x$, следуем поэтапно:

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат: Это поможет избавиться от квадратного корня.

   $$\left(\sqrt{5x - 4}\right)^2 = x^2$$

   Получаем:

   $$5x - 4 = x^2$$

2. Переносим все в одну сторону уравнения: Переносим $5x - 4$ в правую сторону, чтобы у нас получилось стандартное квадратное уравнение:

   $$x^2 - 5x + 4 = 0$$

3. Решаем квадратное уравнение: Для решения уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ можно использовать дискриминант.

   Дискриминант для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -5$, $c = 4$:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$$

   Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня.

4. Находим корни: Корни квадратного уравнения находятся по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения $a = 1$, $b = -5$, $D = 9$:

   $$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

5. Проверка решений: Подставляем найденные корни в исходное уравнение $\sqrt{5x - 4} = x$, чтобы убедиться, что они верны.

   • Для $x = 4$:

     $$\sqrt{5(4) - 4} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4$$

     Условие выполняется, значит, $x = 4$ — решение.

   • Для $x = 1$:

     $$\sqrt{5(1) - 4} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1$$

     Условие выполняется, значит, $x = 1$ — решение.

6. Ответ: Оба корня $x = 4$ и $x = 1$ являются решениями уравнения.