13. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник ABC. Найдите высоту, проведённую из вершины A к стороне BC.

Для того чтобы найти высоту, проведённую из вершины $A$ к стороне $BC$ треугольника, нарисованного на клетчатой бумаге, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение координат вершин треугольника:
   Каждый из углов треугольника $A$, $B$ и $C$ имеет свои координаты на клетчатой бумаге, где каждая клетка имеет размер $1 \times 1$. Например, допустим, что:

   • $A(x_1, y_1)$

   • $B(x_2, y_2)$

   • $C(x_3, y_3)$

2. Нахождение уравнения прямой BC:
   Для того чтобы найти высоту, нужно сначала определить уравнение прямой, проходящей через точки $B$ и $C$. Уравнение прямой можно найти, используя формулу для наклона прямой:

   $$k = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$$

   После этого можно записать уравнение прямой в виде $y - y_2 = k(x - x_2)$.

3. Нахождение перпендикуляра от точки $A$ к прямой $BC$:
   Высота треугольника — это перпендикуляр от вершины $A$ к прямой $BC$. Перпендикуляр имеет наклон, равный отрицательной обратной величине наклона прямой $BC$, то есть:

   $$k_{перпендикуляра} = -\frac{1}{k}$$

   Уравнение перпендикуляра будет иметь вид $y - y_1 = k_{перпендикуляра}(x - x_1)$.

4. Нахождение точки пересечения:
   Решив систему уравнений прямой $BC$ и перпендикуляра от $A$, мы получим координаты точки $P$, где перпендикуляр пересекает прямую $BC$.

5. Вычисление расстояния от точки $A$ до прямой $BC$:
   Высота — это расстояние от точки $A$ до прямой $BC$, которое можно вычислить по формуле для расстояния от точки до прямой:

   $$h = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

   где $Ax + By + C = 0$ — это уравнение прямой $BC$, и $(x_1, y_1)$ — координаты точки $A$.

Таким образом, после выполнения этих шагов, можно найти точное значение высоты, проведённой из вершины $A$ к стороне $BC$.