У=(2х-10)\х^2: найти область значений, пожалуйста)

Для решения задачи, где $U = \frac{(2x - 10)}{x^2}$, нужно определить область значений функции. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Определим область определения функции: Функция $U$ будет определена при условии, что знаменатель $x^2 \neq 0$. Это означает, что $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции: $x \in \mathbb{R}, x \neq 0$.

2. Преобразуем функцию: Мы можем упростить функцию, написав ее в другом виде:

   $$U = \frac{2}{x} - \frac{10}{x^2}$$

   Это преобразование помогает лучше понять, как функция будет вести себя при различных значениях $x$.

3. Анализ поведения функции:

   • Когда $x$ положительное:
     • При $x \to 0^+$ (приближаемся к нулю справа), $U \to +\infty$.
     • При $x \to +\infty$, $U \to 0^+$.
   • Когда $x$ отрицательное:
     • При $x \to 0^-$ (приближаемся к нулю слева), $U \to -\infty$.
     • При $x \to -\infty$, $U \to 0^-$.

4. Найдем критические точки: Для нахождения максимума или минимума функции, найдем производную и приравняем ее к нулю:

   $$U' = \frac{d}{dx}\left(\frac{(2x - 10)}{x^2}\right)$$

   Применяя правило деления, получим:

   $$U' = \frac{(2)(x^2) - (2x - 10)(2x)}{x^4} = \frac{2x^2 - 4x^2 + 20x}{x^4} = \frac{-2x^2 + 20x}{x^4}$$

   Приравняем числитель к нулю:

   $$-2x^2 + 20x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(10 - x) = 0$$

   Это дает решения $x = 0$ (исключаем) и $x = 10$.

5. Анализируем значение функции в критических точках: Подставляем найденные критические точки в исходное уравнение:

   • $U(10) = \frac{(2 \cdot 10 - 10)}{10^2} = \frac{10}{100} = 0.1$

6. Сравниваем значения и находим область значений:

   • Мы видели, что при $x \to 0^+$ функция стремится к $+\infty$, а при $x \to 0^-$ — к $-\infty$.
   • Значение в точке $x = 10$ равно $0.1$.
   • Таким образом, область значений функции включает все значения от $-\infty$ до $0.1$, и от $0.1$ до $+\infty$.

Итак, область значений функции $U = \frac{(2x - 10)}{x^2}$ равна $(-\infty, 0.1) \cup (0.1, +\infty)$.