Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на три разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Рассмотрим задачу, где три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на три угла, измеряемых целым числом градусов. Известно, что наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Нам нужно определить, сколько значений может принимать величина среднего угла.

Обозначим углы как $\alpha$, $\beta$, и $\gamma$, где $\alpha$ — наименьший угол, $\gamma$ — наибольший угол, и $\beta$ — средний угол. Учитывая, что углы образуют разбиение плоскости, их сумма равна $360^\circ$:

По условию, наибольший угол в 4 раза больше наименьшего, то есть:

Подставим это в уравнение для суммы углов:

Это уравнение можно упростить:

Отсюда выразим $\beta$:

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ — углы, измеряемые целым числом градусов, их значения также должны быть целыми положительными числами. Кроме того, значения углов должны удовлетворять следующим условиям:

1. $\alpha > 0$
2. $\gamma = 4\alpha < 180^\circ$, так как любой из углов в разбиении плоскости не может быть больше $180^\circ$.

Рассмотрим второе условие подробнее. Чтобы $\gamma$ было меньше $180^\circ$:

Таким образом, $\alpha$ может принимать целые значения от 1 до 44. Теперь проверим, какие значения может принимать $\beta$. Для каждого значения $\alpha$, удовлетворяющего $1 \leq \alpha \leq 44$, величина $\beta$ вычисляется по формуле:

Чтобы угол $\beta$ был положительным, нужно, чтобы:

Но поскольку $\alpha < 45^\circ$, это условие всегда выполняется в заданном диапазоне. Теперь осталось проверить, какие значения может принимать $\beta$.

Поскольку $\alpha$ принимает целые значения от 1 до 44, то каждый раз при изменении $\alpha$ значение $\beta$ тоже изменяется. Формула $\beta = 360^\circ - 5\alpha$ дает уникальное значение $\beta$ для каждого $\alpha$, так как $\beta$ напрямую зависит от $\alpha$.

Таким образом, $\alpha$ может принимать 44 различных значения (от 1 до 44 включительно), и, соответственно, $\beta$ будет также принимать 44 различных значения. Это означает, что величина среднего угла может принимать 44 различных значения.