Найдите наибольшее значение функции у=х+9÷х на отрезke [-4; -1]

Для нахождения наибольшего значения функции $y = x + \frac{9}{x}$ на отрезке $[-4; -1]$, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции:
   Функция состоит из двух частей: линейного члена $x$ и дроби $\frac{9}{x}$. Для нахождения производной $y'$ нужно использовать стандартные правила дифференцирования.

   Производная от $x$ равна 1, а производная от $\frac{9}{x}$ по правилу дифференцирования дроби $\frac{a}{x}$ равна $-\frac{a}{x^2}$, где $a$ — это 9. Получаем:

   $$y' = 1 - \frac{9}{x^2}$$

2. Найдем критические точки:
   Для нахождения критических точек нужно приравнять производную к нулю:

   $$1 - \frac{9}{x^2} = 0$$

   Из этого уравнения:

   $$\frac{9}{x^2} = 1$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$

   Однако на рассматриваемом отрезке $[-4; -1]$ нас интересует только значение $x = -3$.

3. Проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   Теперь нам нужно посчитать значения функции на концах отрезка и в критической точке.

   • Когда $x = -4$:

     $$y = -4 + \frac{9}{-4} = -4 - 2.25 = -6.25$$

   • Когда $x = -1$:

     $$y = -1 + \frac{9}{-1} = -1 - 9 = -10$$

   • Когда $x = -3$:

     $$y = -3 + \frac{9}{-3} = -3 - 3 = -6$$

4. Сравним полученные значения:

   • $y(-4) = -6.25$

   • $y(-1) = -10$

   • $y(-3) = -6$

   Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; -1]$ равно $-6$, и оно достигается в точке $x = -3$.