Y=ln(x+4)^2+2x+7 найти точку максимума.

Чтобы найти точку максимума функции $Y = \ln((x + 4)^2) + 2x + 7$, нужно проделать несколько шагов.

1. Производная функции:

   Начнем с нахождения производной функции $Y(x)$. Применим правила дифференцирования:

   $$Y = \ln((x + 4)^2) + 2x + 7$$

   Используем свойство логарифмов: $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$. Таким образом:

   $$Y = 2 \ln(x + 4) + 2x + 7$$

   Теперь находим производную этой функции по $x$:

   $$Y' = \frac{d}{dx} \left( 2 \ln(x + 4) \right) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(7)$$

   Для первого слагаемого используем производную от логарифма: $\frac{d}{dx} \ln(u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$, где $u = x + 4$:

   $$\frac{d}{dx} \left( 2 \ln(x + 4) \right) = 2 \cdot \frac{1}{x + 4} \cdot 1 = \frac{2}{x + 4}$$

   Для второго слагаемого:

   $$\frac{d}{dx}(2x) = 2$$

   Для последнего слагаемого $\frac{d}{dx}(7) = 0$.

   Таким образом, производная функции $Y'$ будет:

   $$Y' = \frac{2}{x + 4} + 2$$

2. Нахождение критических точек:

   Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

   $$\frac{2}{x + 4} + 2 = 0$$

   Решим это уравнение:

   $$\frac{2}{x + 4} = -2$$

   Умножим обе части на $x + 4$ (при $x \neq -4$):

   $$2 = -2(x + 4)$$

   Раскроем скобки:

   $$2 = -2x - 8$$

   Переносим все члены в одну сторону:

   $$2x = -10$$

   Разделим на 2:

   $$x = -5$$

3. Проверка на максимум или минимум:

   Чтобы определить, является ли найденная точка максимумом или минимумом, нужно исследовать вторую производную. Найдем её:

   $$Y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x + 4} + 2 \right)$$

   Для первой части используем правило дифференцирования дроби:

   $$\frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x + 4} \right) = -\frac{2}{(x + 4)^2}$$

   Для второй части $\frac{d}{dx}(2) = 0$, поэтому:

   $$Y'' = -\frac{2}{(x + 4)^2}$$

   Подставим $x = -5$ в вторую производную:

   $$Y''(-5) = -\frac{2}{(-5 + 4)^2} = -\frac{2}{1^2} = -2$$

   Поскольку вторая производная отрицательна, это указывает на то, что точка $x = -5$