Найти точки максимума и минимума функции \( f(x) = x^3 - 3x \).

Для нахождения точек максимума и минимума функции $f(x) = x^3 - 3x$, нужно выполнить несколько шагов, включая нахождение производной функции, решение уравнения для критических точек, и анализ поведения функции в этих точках.

1. Найдем производную функции $f'(x)$:

   Производная функции $f(x) = x^3 - 3x$ по правилу дифференцирования для степеней выглядит так:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x) = 3x^2 - 3.$$

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

   $$3x^2 - 3 = 0.$$

   Разделим обе части уравнения на 3:

   $$x^2 - 1 = 0.$$

   Это уравнение можно решить как разность квадратов:

   $$(x - 1)(x + 1) = 0.$$

   Таким образом, критические точки — это $x = 1$ и $x = -1$.

3. Анализируем характер этих точек с помощью второй производной функции $f''(x)$:

   Для этого найдем вторую производную функции:

   $$f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x.$$

   Теперь проверим, что происходит в точках $x = 1$ и $x = -1$.

   • Для $x = 1$: $f''(1) = 6 \times 1 = 6$. Поскольку $f''(1) > 0$, это означает, что точка $x = 1$ — это точка минимума.

   • Для $x = -1$: $f''(-1) = 6 \times (-1) = -6$. Поскольку $f''(-1) < 0$, это означает, что точка $x = -1$ — это точка максимума.

4. Вывод:

   • Точка $x = 1$ — точка минимума.

   • Точка $x = -1$ — точка максимума.