Найдите точку максимума и точку минимума функции y=f(x), если известно, что f'(x)=x²-5x+6.

Чтобы найти точки максимума и минимума функции $y = f(x)$, зная её производную $f'(x) = x^2 - 5x + 6$, нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдём критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае $f'(x) = x^2 - 5x + 6$ — это многочлен, который определён при всех $x$, поэтому ищем, где производная равна нулю:

Решим квадратное уравнение:

Отсюда критические точки: $x = 2$ и $x = 3$

Шаг 2: Используем второй производный тест или исследуем знак производной

Поскольку в условии дана только первая производная, можно исследовать знак $f'(x)$ на интервалах между критическими точками:

• На интервале $(-\infty, 2)$: выберем $x = 1$, тогда $f'(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 2 > 0$

• На интервале $(2, 3)$: выберем $x = 2.5$, тогда $f'(2.5) = (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$

• На интервале $(3, \infty)$: выберем $x = 4$, тогда $f'(4) = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$

Шаг 3: Делаем выводы

• В точке $x = 2$: производная меняет знак с положительного на отрицательный — это точка максимума.

• В точке $x = 3$: производная меняет знак с отрицательного на положительный — это точка минимума.

Ответ:

• Точка максимума: $x = 2$

• Точка минимума: $x = 3$